第170章 这就很离谱（第3页）

他1904年发表的论文中已经出现了可约性的雏形。

然而美国数学界在四色问题上首次实质性的进展出现在1912年後。

普林斯顿大学的奥斯瓦尔德·维布伦（经济学家托尔斯坦·范伯伦的侄子）是这波浪潮的先锋。

他的工作重心是拓扑学，1905年证明了若尔当曲线定理。

对庞加莱发展出的新代数工具有深入了解的他，很自然地开始对四色定理的研究。

他使用有限几何学的观念和有限域上的关联矩阵作为工具，将四色问题转化成有限域系数空间上的方程问题。

这个方向被后来的密码学家、数学家威廉·托马斯·塔特称为“量化方法”

（thequantitativemethod）。

同年，他的普林斯顿同僚乔治·戴维·伯克霍夫也开始探索这个方向，但一年之后他开始转向肯普的方法，也即是塔特所称的“定性方法”

（thequalitativemethod），并提出可约环（reduciblering）的概念。

1913年，伯克霍夫发表名为《地图的可约性》（TheReducibilityofMaps）的论文，利用可约环证明了：由不超过12个国家构成的地图都能用四色染色。

1922年，伯克霍夫的学生菲利普·富兰克林运用同样的方法，将结论加强到：不超过25个国家构成的地图都能用四色染色。

由于别克霍夫首次证明四色定理对不超过12个国家的地图成立，历史上证明的可染色地图的国家数上限记录被称为别克霍夫数。

伯克霍夫等人的证明是肯普的方法的延续和系统化，归纳为寻找一个不可避免的可约构形集（anunavoidablesetofreducibleconfigurations）。

这个理念已经体现在肯普的证明中。

他首先说明任一地图中必然存在以下四种构形：2邻国国家、3邻国国家、4邻国国家和5邻国国家；然后证明每种构形都是可约构形。

后来希尔将这种分类方式称为“不可避免集”

。

伯克霍夫的构想是使用反证法：反设存在至少需要五种颜色染色的地图，那么其中必然存在国家数最小的“极小五色地图”

（five-chromaticmap）。

这个地图必然是“不可约的”

（irreducible）。

而只要找到一组构形，使极小五色地图中不可避免地会出现其中一种构形，并且每个构形都是可约的，那么就能够通过约化，将地图的国家数减少，从而导致矛盾。

肯普找的不可避免集由四种构形组成，但他无法证明最后一种（5邻国国家）的可约性，因此伯克霍夫开始寻找刻画不可避免集的新方法。

他提出以相邻国家连成的环来将整个地图M分为三个部分：环内部分A、环外部分B以及环本身R。

若环上的国家数为n就称其为n-环。

如果R的任意染色都不妨碍A进行染色，那么就可以“忽略”

A而将M的染色问题约化为B+R的染色问题。

这时便称A+R是可约构形，R称为可约环。

伯克霍夫证明了：当R是4-环，或者R是5-环且A中国家不止一个，或者A+R是“伯克霍夫菱形”

时，A+R都是可约的构形。

因此极小五色地图不可能包含这些构形。

富兰克林进一步证明：极小五色地图中必定包含三个邻接的五边国（5邻国的国家），或者邻接的两个五边国与一个六边国，或者邻接的一个五边国和两个六边国。

他从而得出一系列的可约构形，形成了25国以下地图的不可避免的可约构形集。

因此推出，极小五色地图必定至少包含26个国家。

本章未完，点击下一页继续阅读